Brownies Math

Haa... karena diingetin Dito tentang galileo, jadi pengen ngaplot salah satu soal yang saya bikin tahun kemaren:

=========================================================================
Pada suatu hari, Ina ingin membuat kue brownies. Kebetulan, di rumah masih ada sekotak Baker's Corner Instant Brownies. Pada petunjuk penggunaan yang tertera pada kotak brownies instan tersebut, Ina cukup menambahkan 2/3 cup minyak sayur, 1/4 cup air dan 2 butir telur pada adonan siap pakai yang tersedia. Pada petunjuk pemanggangan untuk loyang persegi yang tertera pada kotak tercantum tabel berikut:

ukuran loyang	:	13" x 9"	9" x 9"	8" x 8"
temperatur oven	:	350 F	350 F	325 F
lama panggang	:	25 menit	39 menit	53 menit

Sayangnya, Ina tidak punya loyang persegi dengan ukuran yang tertera pada kotak kemasan adonan siap saji tersebut. Yang Ina miliki adalah loyang muffin dengan ukuran 13" x 18" dengan 12 lubang yang setiap lubangnya berdiameter 3¼".

PERTANYAANNYA: Jika diasumsikan seluruh adonan dapat termuat dalam loyang, berapa kira-kira temperatur oven dan berapa kira-kira lama pemanggangan yang dibutuhkan Ina agar browniesnya matang dengan baik? Berikan alasannya.
A. 350 F; 11 menit
B. 350 F; 31 menit
C. 325 F; 59 menit

KBB Crumbs : Speed Test

Apa itu speed-test? Di postingan tentang pengenalan pola, aku sempet nyinggung-nyinggung masalah ini sebagai tahapan terakhir dalam persiapan ujian masuk perguruan tinggi.

Speed-test itu ya latihan soal. Tapi karena namanya speed-test, ada unsur "waktu"-nya. Jadi begini, salah satu faktor yang (mungkin) terlupakan saat ujian adalah bahwa sesungguhnya untuk mengerjakan soal-soal ujian itu waktunya terbatas. Kalo' nggak salah 2 menit untuk 1 soal. Nah, karena melupakan faktor waktu yang terbatas itu kadang kejadiannya pas ujian begini: terlalu asik berkutat sama 1 soal trus tau-tau waktunya udah mau abis aja trus panik.

Untuk mengantisipasi hal seperti di atas yang tentunya tidak kita inginkan, pas latihan perlu ada pengalaman "time-restricting". Caranya: ambil sejumlah soal, katakanlah 10 soal matematika, kerjakan dalam waktu 20 menit. Trus dievaluasi. Dirasa-rasakan. Seberapa cepet atau lama itu 20 menit.

Karenaaa... berkas speed-test-ku ketlisut, maka coba lah bikin paket soal sendiri dari kumpulan-kumpulan soal yang banyak beredar itu. Trus di-print, kondisikan diri, duduk di kursi, ambil alat tulis, ambil countdown timer, set waktu, daaan... mulai!

Yang pernah dapet sesi komplitnya speed-test itu KIRPAD 65. Tanya deh rasanya kayak apa di-speed-test. Dulu aku punya 16 paket soal matematika, isinya per paket ya cuma sekitar 10 soal gitu deh dan waktunya bervariasi, ada yang 10 soal 20 menit, ada yang 10 soal 15 menit. Lho, kok per soal cuma dikasih 1.5 menit? Iya. Setelah terbiasa dengan speed-test, 1 soal 1.5 menit ini namanya pressure-test.

Menurutku sih, cukup penting untuk mensimulasikan "ketegangan" sewaktu ujian. Dan dibandingkan try-out mingguan yang rutin digelar bimbel atau sekolah, porsi kecil soal dan waktu yang singkat tapi berkali-kali itu lebih bisa bikin kita "dapet" rasanya tekanan arwah (halah), tekanan psikologis saat ujian. Ngaku apa ngaku? Kalo' ngerjain try-out biasanya nyante-nyante aja to? Lha wong 60 soal 120 menit, mana untuk ujian kemampuan dasar, soal bahasa itu per soal-nya rata-rata bisa dikerjakan 1 menit (kalo' kecepatan baca komprehensif-nya lumayan tinggi lho ya), jadi emang practically pas ngerjain soal matematika dapet bonus sisa waktu dari soal bahasa.

Walopun pada prakteknya nggak saklek 1 soal 2 menit, pengkondisian psikologis yang dirasakan saat mengerjakan soal-soal speed-test itu adalah mental-state yang dibutuhkan saat mengerjakan ujian.

Karena hidup, adalah tentang bagaimana kita overcome the pressure. Hidup itu tentang converting failure into success. Halah, ngelantur. Udah ah.

Selamat Belajar!

KBB Crumbs : Kuadran & Sudut Istimewa

Menyambung pembicaraan mengenai trigonometri kemarin (dimana aku pas posting itu lagi males nggambar), di bawah ini gambar-gambar yang aku maksud. Dengan mencermati gambar itu, harapanku sih pada paham kalo' sebenernya menghafalkan nilai-nilai sudut istimewa dan positif-negatif-nya nilai fungsi trigonometri itu nggak serumit ngafalin tabel tapi sesederhana mencerna grafik. Apa sama susahnya ya mencerna grafik? Gini, kalo buat aku tabel itu abstrak, grafik masih lebih mending ada wujudnya ada gambarnya. Ya iyalah, namanya juga grafik.

Contoh ni ya, grafik sinus:

Grafik sinus yang cantik itu proses bikinnya seperti ini:

Kalo diikutin proyeksi nilai-nilai istimewa ke sumbu x, ketemulah kalo sin 30^o atau sin pi/6 = 1/2, sin 45^o atau sin pi/4 = 1/2 akar 2 dan seterusnya. Dan jangan pusing kalo dibolak-balik antara wujud angka dan wujud radian-nya. pi dalam aljabar nilainya emang 3.14, tapi ketika masuk ke dalam fungsi trigonometri pi berubah jadi 180^o. Jadi pi/2 = 90^o dan seterusnya... Euh, tetep aja njlimet ya?

Biar semakin njlimet mari kita tengok grafik cosinus:

Kalo dicermati, fungsi cos itu adalah fungsi sin yang digeser 90^o ke kiri. Dalam bahasa matematika-nya cos x = sin (x+90^o). Coba dimasuk-masukinlah nilai x-nya. Jika x = 0, maka cos 0 = sin (0+90^o) = sin 90^o = 1. Ya to? Boleh buat latihan, coba masukin nilai x untuk sudut-sudut istimewa yang lain.

Geser fungsi nanti aku posting lah di tempet lain. Simpel sih sebenernya, tapi asik (buat menuh-menuhin blog).

Trus yang menarik, sudut-sudut istimewa itu proyeksi di sumbu-y -nya urut kacang. Misal ni ya dari cos 30^o, cos 45^o, dan cos 60^o urut-urutan 1/2 akar 3, 1/2 akar 2, dan 1/2 akar 1. Hehehe. Asik ya? Nggak? Mbok iya aja... daripada dibikin njlimet kan enakan dibawa asik to?? (maksa...)

Nah, kenjlimetan ketiga itu grafik fungsi tangen berikut:

Itu juga urut kacang nilai sudut istimewa-nya: 1 per akar 3, 1, akar 3. urutnya gimana? Ni urutnya: (akar 3)^-1, (akar 3)⁰, (akar 3)¹. Urut to?

Dengan mencermati grafik itu kita juga dengan mudah bilang di kuadran apa nilai-nilai fungsi trigonometri itu positif atau negatif.

Hmmm... Tapi buat yang lebih suka ngafalin tabel ya nggak apa-apa ngafalin tabel. Ini sifatnya cuma berbagi sudut pandang aja hehehe, sudut pandang orang yang lebih mudah menyerap informasi secara visual dibandingkan teks.

Oia, aku mau share sedikit rahasia-ku: aku juga nggak hafal nilai2 kuadran & sudut2 istimewa itu. Setiap kali ngerjain soal terkait nilai2 itu, aku harus men-sketsa secara garis besar (sketsa kasar) di kertas orek2-an gambar grafik yg aku butuhin, baru deh inget nilai2-nya.

Selamat Belajar!

Credits given to the source of the images:
http://math.tutorvista.com/trigonometry.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometry

KBB Crumbs : Integral

-diimpor dengan editan dari notes fb 31 Oktober 2009

Banyak yang komplain sama aku bahwa "Integral susah banget mas". F.Y.I sebenarnya Kalkulus semua susah. Tergantung sebenernya level profisiensi (penguasaan materi) seperti apa yang ingin dcapai. So, ada satu hal yang aku pengen luruskan di sini.

Level profisiensi Integral di sekolahan, jauh lebih tinggi dari apa yang dituntut dalam soal ujian masuk perguruan tinggi.

Artinya apa? Kalo tujuan kalian mau lulus UM, janganlah apatis dulu sama Matematika hanya karena Integral yang diajarkan di Sekolah tu hampir bikin muntah muntah saking susah. Aku punya bukti, UM 2003 - 2009 hanya menuntut penguasaan pemahaman dasar Integral dan Menghitung Luasan di Bawah Kurva. Menghitung luas sendiri soalnya bervariasi dari tahun ke tahun, tetapi yang menjadi satu catatan penting soal-soal Integral UM tidak sampai pada integral trigonometri pangkat tinggi, ataupun parsial ataupun sesuatu yang pakai arcus-arcus yang rumit itu. Untuk jaga-jaga, menurut data UMPTN dan SPMB 2003 ke bawah, ada satu lagi konsep yang harus dikuasai yaitu Menghitung Volume Benda Putar. Oiya, aku ngumpulin soal UM 2003 - 2009 khusus Integral. Jumlahnya cuman 6 biji soal.

Ini salah satu contoh soal UM, soal Integral UM 2009 kemaren:

Gimana caranya menyelesaikan soal integral di atas? Apakah dengan substitusi? Apakah dengan parsial? Mungkin bisa, tapi rumit.

Penyelesaiannya, dalam sudut pandangku, adalah dengan memasukkan nilai a yang berupa integral pada persamaan satu ke persamaan dua. Diperoleh:

Secara intuitif, nilai k sudah ketahuan = 1. Karena supaya integral bla bla bla itu sama dengan empat dari rentang nilai 1 sampai 2, hasil integralnya haruslah 4x ( 4*2 - 4*1 = 4 ). Kalo hasil integralnya sama dengan 4x, maka fungsi didalam integralnya haruslah konstanta yang nilainya 4. Artinya, akar x plus tiga tambah k per 4 itu sama dengan akar x plus 1. Atau tiga tambah k sama dengan 4, ya to?

Intuitif aja deh.

Terkadang, saking njlimet belajarnya kita melupakan hal yang paling penting yang kita miliki: Intuisi. Di dalam proses belajar Matematika, hal yang harus dibangun adalah intuisi matematika ini. Keterampilan menghitung tidak akan terpakai ketika terjun menghadapi permasalahan di masyarakat. Tetapi intuisi matematika akan membantu dalam proses problem solving. Intuisi matematika akan membantu kita melihat arah permasalahan ini ke mana, esensi permasalahan ini sebenarnya apa, lalu kita dapat melihat jalan yang paling efektif dan efisien yang kita bisa tempuh dari sumber daya yang kita miliki.

Secara teknis dalam pengerjaan soal, hal yang aku jabarkan di atas identik dengan soal itu sebenarnya yang ditanyakan apa, apa saja yang telah diketahui, pilihan jawabannya mengarah ke mana. Ini yang esensial dari Matematika. Bukan 1 + 1 sama dengan berapa, tapi bagaimana sebuah permasalahan kita pecahkan. Matematika bukan sekedar alat untuk menghitung, Matematika adalah pengetahuan yang dapat dipakai untuk membangun logika berpikir seseorang.

Karena terlalu terpaku pada rumus dan angka, pada suatu titik kita merasa kita yang sekarang menjadi lebih bodoh daripada kita tiga tahun yang lalu. Tapi percayalah, sebenarnya kita cuma lupa bahwa setiap kita itu pandai. Itu saja.

Selamat Belajar!

KBB Crumbs : Trigonometri

Trigonometri adalah cabang matematika yang ngebahas tentang segitiga. Namanya aja Trigon, bangun tiga, metri: ilmu ukur. Jadi emang berkutat tentang segitiga. Lebih spesifik lagi, untuk keperluan ujian (UN/SNMPTN) materi yang diujikan secara garis besar (dan besar banget):

1. Teorema Pythagoras
2. Sin, Cos & Tan

Nhaa.. poin pertama itu udah di luar kepala mestinya ya sejak dari SMP. Tapi poin yang kedua itu yang agak "njelehi". Karena di sini ini satu-satunya sub-materi matematika yang mau nggak mau harus menghafalkan rumus agar bisa lancar mengerjakan teka-teki yang diujikan. Mana rumusnya banyak pula.

Ada berapa rumus yang perlu dihafal? Mmm... banyak. Tapi yang banyak itu terkelompok dalam lima konsep penting.

1. Definisi sin, cos & tan
dimana dalam sebuah segitiga siku-siku dengan sisi tegak y, sisi mendatar x, dan sisi miring r, dirumuskan:

sin a = y/r
cos a = x/r
tan a = y/x

Heu, udah ada 3 rumus. Biarpun tampak sederhana, definisi ini sangat membantu dalam mengutak-atik teka-teki yang diujikan lho. Percaya nggak percaya.

2. Konsep kuadran dan sudut istimewa.
Yang ini, intinya adalah kalian harus punya gambaran mengenai grafik fungsi sin, cos dan tan. Termasuk di dalamnya harus udah paham tentang konsep geser fungsi. Kalo' pola pikirnya grafis, ntar lebih enak buat utak atik trigonometri. Karena grafis agak susah aku jelasin pake teks di sini, mana aku lagi males nggambar fungsi2 trigonometri. Besok deh kalo udah nggak males. Dan emang, trik-nya adalah memori fotografik. Ngafalin gambar. Ya boleh lah diitung jadi 3 rumus, padahal 3 gambar.

3. Identitas trigonometri: 1 = cos²a + sin²a

4. Sudut Rangkap
Ini banyak... ada 9 rumus:

sin 2a = 2*(sin a)*(cos a)
cos 2a = cos²a - sin²a
= 2*cos²a - 1
= 1 - 2*sin²a
tan 2a = (2*tan a)/(1 - tan²a)

trus yang ini juga ...

sin(a+b) = (sin a)*(cos b) + (sin b)*(cos a)
sin(a-b) = (sin a)*(cos b) - (sin b)*(cos a)
cos(a+b) = (cos a)*(cos b) - (sin b)*(sin a)
cos(a-b) = (cos a)*(cos b) + (sin b)*(sin a)

Banyak ya? Aku sekarang juga udah nggak hafal hehehe... nggak pernah aku pake soalnya, udah nggak tajam karena nggak pernah diasah.

#BEWARE OF LONG FORMULA, SKIP TO THE END OF FORMULA IF YOU ARE NOT READY TO READ THE FORMULA

Etapi, untuk 4 yang terakhir itu kalo udah paham konsep kuadran, sebenernya cuma ngafalin 1 rumus: sin(a+b) = (sin a)*(cos b) + (sin b)*(cos a). Sisanya diutak-atik pakai kuadran.

Misalnya ni,

sin (a-b) = sin (a+(-b))
sin (a-b) = (sin a)*(cos(-b)) + (sin(-b))*(cos a)

Karena dalam konsep kuadran, cos(-b) = cos b ; dan sin(-b) = -sin b, maka

sin(a-b) = (sin a)*(cos b) - (sin b)*(cos a)

Hal yang sama juga bisa diterapkan untuk cos(a+b). Karena dalam konsep kuadran cos t = sin (90+t), maka

cos (a+b) = sin (90+(a+b))
cos (a+b) = sin ((90+a)+b)
cos (a+b) = (sin (90+a))*(cos b) + (sin b)*(cos (90+a))

Karena dalam konsep kuadran, sin (90+a) = cos a ; dan cos (90+a) = -sin a, maka

cos(a+b) = (cos a)*(cos b) - (sin b)*(sin a)

Sekarang boleh dicoba sendiri untuk yg cos (a-b) deh...

Nah, selanjutnya ada hubungan persaudaraan yang dekat antara sin (a+b) dengan sin 2a. Ya iya lah, sin 2a itu adalah sin (a+b) ketika b=a. Sehingga...

sin 2a = sin (a+a)
sin 2a = (sin a)*(cos a) + (sin a)*(cos a)
sin 2a = 2*(sin a)*(cos a)

Hubungan batin yang sama juga terjadi untuk cos (a+b) dengan cos 2a. Hayo gimana? Coba dihubung-hubungin sendiri yaa...

Trus, variasi rumus cos 2a itu ada karena ada intervensi identitas trigonometri, dimana cos²a = 1 - sin²a dan sin²a = 1 - cos²a

Misalnya ni ya, sin²a aku substitusi dengan relasi identitas trigonometri,

cos 2a = cos²a - sin²a
cos 2a = cos²a - (1 - cos²a)
cos 2a = cos²a - 1 + cos²a
cos 2a = 2*cos²a - 1

Kalo yang disubstitusi cos²a-nya, larinya juga kira-kira sama kayak begitu

Trus trus trus... formula terakhir nih. Udah ngerti kan dari definisi sin, cos & tan itu kalo diutak-atik bisa jadi tan a = sin a / cos a ??

Nah, dari relasi dasar definisi sin, cos & tan itu, lahirlah tan 2a dari perkawinan antara definisi dengan formula sudut rangkap sin & cos.

tan 2a = sin 2a / cos 2a
tan 2a = 2*(sin a)*(cos a) / cos²a - sin²a

Kalo pembilang dan penyebut sama-sama dibagi dengan cos²a jadinya...

tan 2a = 2*(sin a)/(cos a) / 1 - sin²a/cos²a
tan 2a = (2*tan a)/(1 - tan²a)

Kesimpulannya, konsep sudut rangkap yang tadinya terdiri atas 9 rumus itu ternyata nenek moyangnya cuman 1 -> sin(a+b) = (sin a)*(cos b) + (sin b)*(cos a). Jadi beranak pinak melalui perkawinan-perkawinan dengan konsep trigonometri yang lain macam konsep kuadran, identitas trigonometri dan definisi sin, cos & tan.

#END OF FORMULA

5. Aturan Cosinus: A² = B² + C² - 2*B*C*cos a

Meskipun konsep pokoknya cuma ada lima dengan kira-kira 10 rumus, aplikasi di soal bisa beragam banget. Ya iyalah, lha wong diferensial yang cuma tiga konsep pokok aja ngerjainnya bisa sampe jungkir balik apalagi ini yang lima. Dan trigonometri cenderung dijauhi karena rumusnya yang banyak.

Secara umum, untuk bisa ngerjain soal matematika emang utamanya adalah pengalaman untuk bisa tahu ini teka-teki larinya kemana, jalannya lewat mana. Yang diperlukan adalah membangun insting dan peta mental matematika melalui latihan ... kalo udah pengalaman, liat soal tuh ntar udah kebayang ini larinya kemana pake cara apa. Susah ya? Mana habis ujian nggak kepake pula?? Haha.. kok aku malah mendemotivasi gini yak?!

Ah, ini postingan KBB Crumbs yang paling nggak mutu kayaknya. Udah ah.

Selamat Belajar!

KBB Crumbs : Pola Soal Bio

-diimpor dari notes fb 11 Oktober 2009

Seperti yang aku janjikan di postingan kemaren, berikut aku share hasil pengenalan pola soal-soal SNMPTN 2003-2008.

Pas liat referensi pelajaran Biologi SMA/MA di KTSP, kok morfologi soal-nya nggak begitu keliatan. So, aku bikin sendiri lah tema-tema itu. Tema yang menurutku nggak terlalu luas pun nggak terlalu spesifik.

Untuk menginterpretasi angka-angka di atas, ada beberapa catatan khusus.

Aku berhenti pada frekuensi kumulatif 74% kurang dikit. Ini terjadi akibat materi biologi yang begitu buanyak sehingga ada materi-materi yang kalo aku kelompokin dengan pemahamanku yang terbatas ini jadi terlalu spesifik ataupun jadi terlalu luas. Di sisi lain kalo ada yang bisa mengerjakan soal biologi sampe 70%, itu udah hebat banget menurutku.

Yang cukup menarik di sini, 3 materi teratas yang meng-cover lebih dari seperlima soal ujian adalah materi yang cukup ideal dari segi wilayah cakupan bahasannya: 1) Paku & Lumut, such as daur hidupnya, sifatnya, nama ilmiahnya, morfologinya; 2) Biologi Sel, Pembelahan Sel & DNA, such as meiosis, mitosis, organel, ribosom, membran sel, replikasi DNA de es be ... ; 3) Daun & Fotosintesis, such as struktur daun (palisade, stomata, etc.), reaksi gelap reaksi terang de el el.

Nah, khusus untuk nomor empat, klasifikasi, itu cukup banyak keluar tapi cakupannya luas. Masak yang ditanyain macam gajah masuk ordo apa, trus taneman ini genusnya apa. Lha modar saja belajar taksonomi yang detailnya sak ndayak itu. Tapi mungkin bolehlah di-review yang keluar apa saja ... gajah, asam jawa, jambu monyet, paus, pinus, spermatophyta de ka ka.

Trus sebenernya ada materi yang total coverage-nya bisa nyampe 17% dari keseluruhan soal: SISTEM ORGAN MANUSIA. Artinya, tiap ujian pasti ada soal tentang sistem organ ini. Masalahnya, sistem organ manusia itu cakupan materinya juga luas. Ada sistem pencernaan, sistem respirasi, sistem sirkulasi darah, sistem ekskresi, sistem hormon (yang cukup dominan), sistem skeletal a.k.a. rangka tubuh. Banyak. Tapi make sense kok kalo’ yang satu ini diujikan. Di Pendidikan Dokter, jurusan paling favorit, materi ini bakal jadi makanan sehari-hari. Dan tentunya para dosen lebih senang kalo’ mahasiswanya sudah punya prerequisite knowledge tentang materi yang satu ini.

Bedah morfologi soal di atas sebenernya juga nggak sahih-sahih amat. Ada materi yang luas banget ... ada yang sedeng ... ada yang cukup sempit, contohnya: ATP. Kenapa aku sendiriin tuh ATP? Jujur aja aku nggak tau itu harus dimasukin mana dan pas pengenalan pola, materi tentang ngitung molekul ATP ini tampak cukup menarik. Contoh lain: Arthropoda. Aku juga berasa aneh sih ni kelompok hewan jadi cukup populer diujikan di antara kelompok-kelompok hewan yang lain. Tapi menurut bibi Wiki, kelompok hewan ini emang filum paling besar dalam dunia hewan.

Ok, segitu dulu interpretasinya. Biar cuma hasil “pattern recognition of the morphology of Biology Exam from an electrical engineer”, lumayanlah buat referensi belajar ...

Selamat belajar!

P.S.:
Again, karena datanya data lama, nggak up-to-date, mungkin bisa kalian bikin sendiri identifikasi dengan data terbaru. Dan mungkin kalo' kalian lebih ngerti Biologi SMA dibanding aku, kalian bisa bikin klasifikasi materi yang lebih bagus daripada klasifikasi di atas. Demikian.

KBB Crumbs : Ada Apa Dengan Matematika

Kaitannya masih sama posting pengenalan pola dan SNMPTN, jawabannya simpel aja:

1) karena kebanyakan yang belajar sama aku pengennya masuk prodi IPA, matematika jadi penting karena matematika punya porsi besar dalam SNMPTN. Perhatiin aja, ada Matematika Dasar dan ada Matematika IPA. Kalo' gk salah, total soal ujian untuk IPA 120 soal, Matematika porsinya 35 soal sendiri (hampir 30%) belum misalnya kita ngitung konsep Matematika yg dipake di Fisika; vektor misalnya.

Walopun sebenernya, porsi ujian terbesar itu bukan Matematika, tapi Bahasa. dari 120 soal, ada 75 soal bahasa: 20 soal Bahasa Inggris, 20 soal Bahasa Indonesia dan 35 soal Bahasa Matematika. Kenapa porsi ujian yang paling besar adalah Bahasa? Kayaknya begini... dosen-dosen lebih suka ngajar mahasiswa yang belum tahu apa-apa tapi bisa diajak ngobrol dibanding mahasiswa yang udah ngerti macem-macem tapi nggak bisa diajak ngobrol. Bisa ngobrol itu maksudnya tentu termasuk ketika mahasiswa bisa paham bahwa persamaan-persamaan matematika itu ada bunyinya, ada artinya. Kalo' mahasiswa yang udah ngerti macem-macem dan bisa diajak ngobrol itu sebenernya udah nggak perlu kuliah, nulis buku ajah XD

2) karena biasanya matematika itu dianggap momok, dianggap yang paling susah dari mata pelajaran yang lain. Iya apa iya, hayo?!

Itu sudah.

KBB Crumbs : Pengenalan Pola

Pertama-tama, mungkin aku pengen berbagi point of view-ku tentang ujian saringan masuk perguruan tinggi (SNMPTN) kaitannya sama 'belajar'. Belajar secara umum, dimana tujuannya untuk memperoleh kompetensi, dengan belajar untuk keperluan SNMPTN ada bedanya. Bedanya apa ya? Begini ni... misalnya aku bicara soal belajar matematika, maka yang aku maksud belajar matematika itu memahami bahasa dalam pola-pola yang ada di alam dan kehidupan. Tapi ketika tujuan besar belajar matematika itu direduksi menjadi keperluan menyeleksi sekian calon mahasiswa, urusannya jadi beda; urusannya jadi masalah cerdik-cerdikan ngerjain tebak-tebakan matematika --bukan esensi matematika itu sendiri.

Jadi sudah jamak kalo' kemudian ada fenomena "Aku belajar, Aku lulus ujian, dan Aku lupa." Yaa.. karena kalo' urusannya mainan tebak-tebakan mana ada yang trus kepake beneran di kehidupan kita selanjutnya. Bisa nggak lupa itu biasanya karena ada kesan dan atau ada kemanfaatan; secara psikologis kita mengingat sesuatu yang kita anggap penting. Kalo udah nggak penting lagi ya biasanya lupa.

Tapi untuk ngakalin soal tebak-tebakan matematika itu, aku pengen berbagi metode yang berdasarkan esensi matematika : MENGENALI POLA.

Gambaran besarnya begini; meskipun soal ujian variasinya banyak, tetap saja ada polanya. Itu yang diajarkan matematika, bahkan kekacauan (chaos) tersusun atas pola-pola elementer yang sederhana. Percaya nggak percaya, pola-pola kacau bisa jadi tersusun atas pola dasar logika percabangan relasi linier.

Sehingga, apa yang harus dilakukan dalam 'belajar' menghadapi SNMPTN? Dalam versiku:
secara sekuensial,

1) Identifikasi pola,
2) Kuasai materi dasar sesuai pola,
3) Latihan soal (Speed-Test).

Mengidentifikasi pola-pola soal ujian itu ibarat membuat peta. Perjalanan tanpa peta -tanpa tahu titik awalnya dimana tujuannya mau kemana- itu perjalanan yang melelahkan dan berpotensi tersesat.

Nah, ambillah kasus soal SNMPTN utk materi Matematika. Kenapa contoh kasusnya Matematika? Nanti ta' jelasin di postingan yang lain.

Yang perlu dilakukan dalam mengenali pola adalah: 1) membagi materi menjadi sub-materi (biasanya sesuai dengan yang ada di buku pelajaran); 2) mengumpulkan data (biasanya ada tu kan buku kumpulan soal SNMPTN dari tahun sekian sampai tahun sekian); 3) buka MS Excel, dan bikin tabulasi data. Berikut ini contohnya.

Data yang ada di aku -yang ada dalam gambar-gambar di bawah ini- adalah data SNMPTN tahun 2003-2009. Ya maklumlah, karena aku jadi tentor matematika tahun 2010; jadi datanya nggak up-to-date #excuse.

Tabel di atas itu tabel data soal Matematika Dasar SNMPTN tahun 2003-2009. Nilai-nilai pecahan itu berarti, dalam satu soal dibutuhkan lebih dari satu pemahaman terhadap sub-materi, dengan kata lain soalnya soal komprehensif. Kalo dalam satu soal ada dua pemahaman sub-materi yang diperlukan untuk dapat menjawab soal ybs., kedua sub-materi tersebut aku kasi nilai 0,5. Dan jika tiga, 0,33.

Tabel di atas itu tabel data soal Matematika IPA SNMPTN tahun 2003-2009. Kalo' kedua data Matematika Dasar & Matematika IPA digabung dan dibuat grafik ogive-nya, jadinya kayak begini:

Dari grafik ogive di atas terlihat, 5 sub-materi teratas diujikan hampir 50% soal. Dan 9 sub-materi teratas meng-cover lebih dari 75%. Sedangkan total materi dalam matematika ada 20 sub-materi. Artinya, mempelajari separuh saja dari total materi Matematika sudah meng-cover tiga perempat kemungkinan soal yang diujikan. See, cukup menyederhanakan permasalahan bukan?

Dengan adanya peringkat sub-materi itu setidaknya jadi ada susunan prioritas materi-materi apa yang harus dikuasai lebih dulu.

Langkah selanjutnya adalah, kenali pola-pola soal untuk tiap sub-materi. Katakanlah untuk materi Persamaan Kuadrat; Gimana aja sih variasi soal-soalnya? Rumus-rumus apa saja yang dipakai? Trik-trik apa saja yang perlu dipahami? Menjawab pertanyaan-pertanyaan itu artinya udah mulai masuk ke tahapan "menguasai materi dasar sesuai pola". Kalo' penguasaan materi dasar itu udah dilakukan untuk materi-materi yang dianggap penting, berikutnya adalah put your knowledge to the test: latihan soal (speed-test). Apa itu speed-test? Heuuu... ini nanti ta' jelasin di postingan lain juga. Duh, banyak ya ternyata yang bisa ditulis buat KBB Crumbs hehehe.

Catatan pentingnya, karena data itu sudah obsolete ada baiknya data itu kalian perbarui sendiri dengan cara melakukan identifikasi sendiri terhadap data yang ada sekarang.

Dan kalo' perlu, lakukan cara yang sama untuk materi-materi yang lain seperti Fisika, Kimia, bahkan Biologi (walopun aku pernah melakukan identifikasi untuk materi Biologi dan hasilnya nggak karuan pola-nya; kapan-kapan aku share ya hehe), Bahasa Inggris dan Bahasa Indonesia!

Selamat belajar!

KBB Crumbs : Persamaan Kuadrat

- diekspor dari notes fb 27 Oktober 2009 dengan beberapa editan.

Beberapa orang ada yang bedain materi persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Yaa .. boleh lah. Aku dulu -kalo nggak salah- belajar kalo yang namanya persamaan itu y-nya sama dengan nol kalo yang namanya fungsi itu y-nya sama dengan f(x). Persamaan kuadrat biasanya bicara soal akar-akar fungsi kuadrat, mencari (x_p, 0). Kalo' materi fungsi kuadrat lebih mengeksplorasi tentang perilaku fungsi kuadrat itu sendiri seperti misalnya bagaimana jika determinan fungsi kuadrat (D) lebih besar atau lebih kecil atau sama dengan nol.

Untuk materi persamaan kuadrat sendiri, ada laman wiki yang menurutku cukup komprehensif. Ini: http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_kuadrat

Jadinya aku nggak perlu nulis materi to di sini ...

Yang perlu diketahui, percaya nggak percaya, soal-soal yang dijadikan tebak-tebakan dalam ujian semacam UN atau SNMPTN itu bermuara pada satu rumus saja: Rumus abc. Yaitu:

Tapi tentu saja sekali lagi, harus dengan pemahaman yang komprehensif. Pemahaman komprehensif itu maksudku ya paham jungkir-baliknya rumus itu. Haduh gimana ya, susah jelasinnya.

Misalnya ni, paling sering kan diminta membuat persamaan kuadrat baru dari persamaan kuadrat yang diketahui; dengan syarat akar persamaan kuadrat baru itu dalam fungsi akar persamaan kuadrat yang diketahui. Ngerjain soal macam itu kan alatnya pakai x₁ + x₂ dan x₁*x₂ atau juga ada teka-teki yang melibatkan x₁ - x₂. Nah, pengutak-atikan akar-akar persamaan kuadrat itu sumbernya rumus abc, seperti misalnya dari rumus abc yang diutak-atik itu lahirlah x₁ + x₂ = - b/a. Hayo, gimana coba caranya ngutak-atik rumus abc biar jadi kayak gitu?

Selamat belajar!

KBB Crumbs : Perpangkatan & Logaritma

- habis nge-chat sama Tata kok jadi kepengan posting beberapa berkas dari notes fb ke sini yaa, dimulai dengan perpangkatan dan logaritma deh.

Perpangkatan (eksponensial) dan logaritma adalah operasi aljabar/matematis yang sama seperti tambah, kurang, kali dan bagi.

Kalo waktu SD, pertama kali kita belajar penjumlahan dan pengurangan. Misalnya, 5 buah duku ditambah 2 buah duku jadi 7 buah duku. Dan, 10 buah duku dimakan 6 buah duku jadi 4 buah duku. Aku bilang itu operasi matematis level satu.

Trus masih di SD juga, kita belajar perkalian dan pembagian. Perkalian itu menjumlahkan bilangan yang sama berulang-ulang. Pembagian itu operasi invers-nya perkalian. Misalnya, ada 5 orang anak yang masing-masing metik 3 buah duku dari pohon duku jadi ada 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 x 5 = 15 buah duku yang dipetik. Dan misalnya, ada sekeranjang duku berisi 12 buah duku yang mau dibagi rata untuk 4 orang anak jadi 12/4 = 3 buah duku per anak. Aku bilang itu operasi matematis level dua.

Nah, di SMP mungkin kita mulai mengenal perpangkatan (eksponensial) bersama dengan inversnya, logaritma. Perpangkatan itu mengalikan bilangan yang sama berulang-ulang. Misalnya, ada 4 anak yang tiap anak makan 4 buah duku tiap hari selama 4 hari jadi selama 4 hari itu termakan 4 x 4 x 4 = 4³ = 64 buah duku. Yang jadi masalah, aku kesulitan cari contoh buah duku untuk operasi logaritma. Wkwkwk. Help, anyone? Perpangkatan dan logaritma ini -dalam istilahku- adalah operasi matematis level tiga.

Problem utamanya, operasi matematis level tiga ini jarang sekali kita pakai dalam perhitungan sehari-hari. Kebanyakan orang jarang-jarang yang harus deal with perpangkatan dan logaritma. Beda sama anak-anak elektro misalnya, kalo mau ngitung transformasi fourier dari isyarat elektromagnetik, mau nggak mau ketemu bilangan naturalis (e) yang dipangkatkan. Atau, kalo mau gambar tanggapan filter elektronik mau nggak mau pakai logaritma. Ngitung regresi juga terkadang pake regresi logaritmik.

Nah, karena jarang dipakai .. kita jadi nggak begitu terbiasa dengan kaidah-kaidah operasional perpangkatan dan logaritma ini. Sehingga ketika dijadikan pertanyaan tebak-tebakan di ujian semacam Ujian Nasional atau SNMPTN banyak yang merasa kesulitan.

Aku sendiri sekarang juga udah nggak pernah pakai operasi matematika level tiga ini. Suka lupa jadinya. Biar gampang mengingat-ingat hubungan antara perpangkatan dan logaritma paling enak pakai contoh berikut:

Jika 10² = 100, maka ¹⁰log 100 = 2

Dari contoh angka itu bisa dibikin bahasa matematikanya:

Jika b^a = c maka ^blog c = a

Khusus untuk operasi logaritma, ada ketentuan dasar: ^blog c = a, hanya akan beroperasi bila:
1) b bernilai positif dan tidak sama dengan 1, DAN
2) c bernilai positif

Kalo b = 1, maka perpangkatannya menjadi: 1^a = c. Angka satu dipangkatkan berapa pun hasilnya 1, sehingga relasi a dan c tidak terdefinisikan. Dalam konteks perpangkatan dan logaritma, b disebut bilangan basis. Dengan alasan yang sama, bilangan basis juga tidak dapat bernilai 0.

Pertanyaannya, kenapa ya bilangan basis tidak boleh negatif? Kenapa juga syaratnya c dalam logaritma harus bernilai positif? He he, aku juga belum paham itu. Tapi kan ada Google :) Coba deh di-Google. Gantung banget yak?

Well, tanda tanya itu memang titik awal untuk belajar sih :D #ngeles

A Speed Test Diary

Chan dan Na berlari kecil ke Matematika 2 karena melihatku melambai-lambaikan tangan memberi tanda. Ketika mereka masuk, Speed Test dimulai. Aku memulai Speed Test jam 13.33, terlambat tiga menit dari yang seharusnya karena aku harus mampir ke Bank dulu setelah sholat Jumat.

Beberapa saat aku ikut berkutat dengan soal-soal itu, memikirkan hal apa yang perlu aku tekankan untuk mereka pelajari ketika pembahasan. Dan kemudian seperti biasa, menunggu 2x20 menit itu berlalu membuat waktu berjalan sangat lambat bagiku. Tapi tidak untuk mereka.

Hari ini ada 8 orang yang ikut Speed Test, Pus, Qor, Git, Chan, Na, Thor, Wik, dan Dev. Sembilan orang pada akhirnya, karena Son datang 8 menit sebelum Speed Test sesi kedua berakhir. Aku sampai lupa bertanya kenapa dia datang terlambat.

Mendung menggelayut di atas Sekolah. Aku sempat kehujanan waktu keluar dari Bank. Namun sepertinya sang awan berjalan pelan ke selatan dan baru turun lebat di Kotabaru ketika pembahasan Speed Test setengah jalan.

Hujan, daun felisium yang berguguran, dan gedung sekolah adalah tiga hal yang dapat menjadi mesin waktu bagiku, membawaku kembali ke masa SMA dulu. Romantikanya. Melankolinya. Dan semua tawa, tangis dan emosi yang ada di dalamnya.

Aku berdiri di antara deretan bangku-bangku menghadap ke papan tulis, mengamati anak-anak yang sedang berkutat dengan kesepuluh soal itu. Lalu, aku menengok keluar jendela, melihat awan hitam di luar yang tampak angkuh. Dan seketika aku menyadari sesuatu.

Aku lupa sejak tahun berapa Sekolah ini menerapkan sistem kelas berpindah dan nama-nama kelas berubah menjadi Biologi 1, Matematika 2, Bahasa 1 dan sebagainya. Waktu aku SMA dulu, ruang-ruang kelas masih ruang kelas II-3, kelas III-IPA-2, et cetera. Sehingga, ada masa dimana seorang siswa menghabiskan lebih dari 6 jam dalam sehari di dalam kelas.

Aku baru sadar, Matematika 2 adalah kelas III-IPA-2. Kelasku dulu! Tidak heran aku begitu familiar dengan ruangan ini. Aku juga terbiasa memandang awan dari jendela itu. Seketika memori fotografisku menghadirkan kembali teman-teman yang duduk di deretan bangku itu. Kelas III adalah masa-masa dimana seorang siswa sedang giat-giatnya belajar untuk lulus dan masuk perguruan tinggi. Aku tidak pernah lupa akan rasa itu, semangat itu.

Dan sekarang aku berada di depan kelas, menemani generasi yang baru berjuang untuk masa depan mereka. Aku bisa melihat kegelisahan mereka, namun juga semburat semangat dari wajah-wajah mereka.

Hari ini menjadi istimewa karena hujan lebat adalah pertanda baik.

Dalam perjalanan pulang, di bawah derai hujan dan ditemani sayup-sayup sebuah nomor jazz dari radio mobilku, aku merasa bersyukur dapat menemani mereka. Dan aku lebih bersyukur lagi karena anak-anak itu telah memperlihatkan semangat yang aku kenali, semangat anak Padmanaba.

Bhakti Vidya Ksatria Tama ...